Вход |  Регистрация
 
 
Время электроники Воскресенье, 23 февраля
 
 


Это интересно!

Ранее

3-осевые микромеханические акселерометры ADXL345 и ADXL346 с микропотреблением и детектором событий

Рекомендации по выбору акселерометра

В поисках акселерометра для определенного приложения не только новички, но и опытные пользователи могут прийти в замешательство при изучении каталога производителей акселерометров или веб-сайта. Описанный в данной статье метод позволит разработчику сориентироваться в гуще опций и выбрать оптимальный акселерометр для своего приложения. Публикация представляет собой перевод [1].

Методы измерения шума в цифровых схемах

В статье рассмотрены методы оценки джиттера в канале передачи. Отмечены достоинства и недостатки каждого подхода.

Реклама

По вопросам размещения рекламы обращайтесь в отдел рекламы

Реклама наших партнеров

 

10 марта

Интерполяция sin(x)/x: важный аспект проведения точных измерений с помощью осциллографа



Введение

На сегодня реально-временные осциллографы являются основой высокоскоростных измерений во временной области. Для захвата входного сигнала в современных осциллографах используются высокоскоростные АЦП. Частота дискретизации АЦП осциллографа зачастую преподносится производителями как главная характеристика прибора: чем она выше, тем лучше. Это справедливо до тех пор, пока не нарушается теорема Найквиста: только в этом случае осциллограф может достоверно реконструировать входной сигнал. Этот процесс реконструкции зачастую выполняется с использованием функции интерполяции sin(x)/x. Независимо от того, насколько выше частота Найквиста частоты дискретизации АЦП осциллографа — в 25 или 2,5 раз, интерполяция может использоваться для достоверного воспроизведения сигнала, уменьшая неопределенность его формы между выборками.

Пересмотр положений Найквиста

Одним из фундаментальных процессов, с которым знакомятся будущие инженеры в рамках курса по обработке сигналов, является процесс дискретизации (сэмплирования). В самой простой форме процесс дискретизации — это процесс, с помощью которого выполняется захват мгновенного значения непрерывного во времени сигнала в дискретных временных точках, в результате чего получается набор выборок, образующий дискретный временной сигнал. Самая известная теорема Найквиста гласит, что сигнал может быть реконструирован без искажений, если выполняются два следующих условия.

1. Максимальная частотная составляющая должна быть меньше половины частоты дискретизации.

2. Дискретные значения должны быть получены через равные промежутки времени.

Эти идеи знакомы большинству инженеров и не являются новыми. Однако их применение на практике имеет первостепенное значение для понимания того, как осциллографы-дигитайзеры реконструируют сигнал из набора дискретных выборок.

Основы интерполяции

Дискретизация является относительно простой операцией, при которой непрерывный временной сигнал преобразуется в дискретный временной сигнал. Метод, с помощью которого происходит восстановление непрерывного временного сигнала по его дискретным выборкам, не менее важен. Несмотря на то, что существует много методов реконструкции сигнала, в большинстве современных осциллографов используется интерполяция sin(x)/x. Метод интерполяции чрезвычайно важен, т.к. позволяет достоверно реконструировать форму исходного сигнала.

Пусть x(t) — сигнал во временной области. Если x(t) сэмплируется по последовательности импульсов s(t), то дискретное значение сигнала xs(t) можно записать в форме

, (1)

где последовательность импульсов выборки можно выразить как

. (2)

Выражение (2) представляет собой последовательность импульсов бесконечной длины. Эта последовательность импульсов показана на рисунке 1 для положительных значений n.

Рис. 1. Дискретные импульсы во временной области. T — период дискретизации

Согласно основам теории обработки сигналов, операция умножения во временной области эквивалентна операции свертки в области частот.

. (3)

Преобразование Фурье последовательности импульсов можно представить в виде бесконечной суммы импульсов в области частот, нормированной обратной величиной периода дискретизации 1/T, который используется для выборки значений исходного аналогового сигнала. Это записано в (4) и иллюстрируется на рисунке 2.

Рис. 2. Преобразование Фурье для последовательности импульсов во временной области

formula4.eps. (4)

Значение 1/T считается частотой дискретизации, или fs. Выражение операции свертки (3) изображено графически на рисунке 3. Для разнообразных сигналов были показаны только спектры величин.

Рис. 3. Свертка входного сигнала X(f) (a) с дискретной последовательностью импульсов S(f) (б) дает спектр величин частот (в). Заметим, что (в) — это повторение показанного на (a) спектра, кратное 1/T

Рисунок 3 показывает, что частотный спектр дискретизируемого сигнала является повторением спектра исходного сигнала, кратным fs. На этом рисунке видно, что для больших значений периода дискретизации T повторяющиеся спектры могут перекрывать друг друга. Такое явление называют эффектом наложения (aliasing) (см. рис. 4).

Рис. 4. Эффект наложения возникает, когда период дискретизации T становится значительно шире спектра сигнала. Операция свертки (а) с (б) дает спектр, показанный на (в). Высокочастотные составляющие образа спектра «накладываются» на низкочастотные составляющие спектра исходного сигнала

Если спектр входного сигнала содержит частотные составляющие выше f = 1/(2T), то происходит наложение спектров исходного сигнала и его образов, как показано на рисунке 4. Эта частота имеет специальное название — частота Найквиста, и ее можно записать в виде

. (5)

Представим, что входной сигнал не содержит частотных составляющих выше fN. В этом случае исходный сигнал может быть достоверно восстановлен по дискретному ряду выходного сигнала. Сравним этот случай с рисунком 4с, где присутствует частотная составляющая выше fN. Исходный сигнал не может быть корректно восстановлен путем отсекания частотных составляющих выше fN, поскольку спектр сигнала был искажен во время процесса дискретизации.

Фильтр на входе сигнала с идеальной прямоугольной характеристикой мог бы помочь справиться с этой задачей. Фильтр сохранил бы все частотные составляющие ниже значения fN и полностью отсек все более высокие частотные составляющие. С помощью операции умножения спектра исходного сигнала на прямоугольный фильтр восстанавливается исходный спектр (см. рис. 5).

Рис. 5. Умножение спектра исходного сигнала (a) на идеальную прямоугольную характеристику (б) дает спектр исходного сигнала (в). Отметим, что фильтр на частоте Найквиста имеет бесконечную крутизну. Это создает исключительные сложности, с точки зрения цифровой обработки сигналов

Возможно, самым удивительным в этом способе реконструкции исходного сигнала является то, что сигнал может быть точно реконструирован из исходного сигнала благодаря применению фильтра с прямоугольной характеристикой. Этот метод интерполяции часто называют интерполяцией sin(x)/x, или sinc(x). Откуда взялось это название?

Вспомним, что операция умножения сигналов в области частот эквивалентна свертке сигналов во временной области. Учтем также, что обратное преобразование Фурье прямоугольной функции в частотной области есть функция sinc(х) во временной области. Показанная на рисунке 5б прямоугольная функция может быть выражена в виде sinc(х) во временной области:

. (6)

И, наконец, результирующий сигнал после интерполяции можно выразить через дискретный сигнал и интерполяционный фильтр sin(x)/x:

, (7)

где x[n] — множество выборок сигнала в дискретные моменты времени, полученное в процессе захвата сигнала, спектр которого показан на рисунке 5a.

Практическое применение интерполяции sin(x)/x

Математические выражения, описывающие интерполяцию sin(x)/x, красивы, но не очень действенны на практике. Интерполяционный метод требует бесконечного количества точек до и после точки n, для которой делается интерполяция. Однако на практике могут быть созданы фильтры с конечной импульсной характеристикой, которые близко повторяют форму реконструирующего фильтра sin(x)/x, используя конечное количество выборок. Именно этот подход используется в осциллографах Agilent при захвате входного сигнала. После того как сигнал сэмплирован, его дискретные значения проходят через процедуры обработки; одной из них является интерполяционный фильтр, который используется для реконструкции сигнала на экране.

В современных осциллографах уже не вызывают удивления частоты дискретизации, в 25 раз превышающие полосу пропускания осциллографа. Часто это дает пользователям уверенность, что они не пропустят каких-то событий в промежутках между выборками. Однако из приведенных выше соображений следует, что это справедливо до тех пор, пока выполняется критерий Найквиста.

Часто инженеров беспокоит то, что осциллограф может пропустить кратковременные искажения (глитчи), которые возникают в промежутках между выборками. Независимо от того, какой осциллограф используется — аналоговый или цифровой, этот глитч удаляется фильтром низких частот во входном тракте осциллографа. В результате искажение не становится более заметным, чем при использовании аналогового осциллографа.

Тогда почему бы не сделать частоту дискретизации равной удвоенной ширине полосы пропускания осциллографа? Дело в том, что сигналы могут быть ослаблены только на 10 дБ вне полосы частот измерительного прибора. Иными словами, амплитудно-частотная характеристика осциллографа снижается не бесконечно быстро, и некоторая буферная зона частоты дискретизации используется для минимизации эффекта наложения. Позже мы остановимся на этом эффекте более подробно.

Практический пример реконструкции сигнала с использованием sin(x)/x приведен ниже. Была написана простая программа для отображения: а) сигнала исходной формы; б) сэмплированной версии сигнала и в) нового сигнала, реконструированного по выборкам с помощью интерполяции sin(x)/x . На каждом рисунке исходный сигнал отображен синим цветом, сэмплированный сигнал — красным, а интерполированные значения данных показаны в виде черных треугольников.

Допустим, 1-ГГц синусоидальный сигнал сэмплируется с частотой дискретизации 25 Гвыб/c. Это в 12,5 раз выше, чем необходимо для точной реконструкции (см. рис. 6). Отметим, что красные звездочки соответствуют выборкам синусоиды. Синий профиль сигнала представляет собой исходный сигнал, а черные треугольники представляют сигнал, восстановленный путем интерполяции sin(x)/x.

Рис. 6. Если 1-ГГц сигнал оцифровывается с частотой дискретизации, которая в 25 раз превышает основную частоту, то интерполяцию соединением точек сложно отличить от идеальной реконструкции и от исходного сигнала

Сигналы, показанные на рисунке 6, визуально привлекательны для пользователя осциллографа, поскольку они легко ассоциируют выборки с исходным сигналом. Даже если алгоритм интерполяции отключен пользователем осциллографа, значения сами по себе точно изображают сигнал на входе инструмента.

Допустим, что частота дискретизации уменьшается на порядок, в 2,5 раза превышая частоту исходного сигнала, т.е. до 2,5 Гвыб/c. Этот сценарий показан на рисунке 7. Даже при такой низкой частоте дискретизации теорема Найквиста не нарушается. Красные звездочки отмечают оцифрованные значения исходного сигнала. Реконструкция соединением точек показана вместе с данными интерполяции sin(x)/x.

Меньшая частота дискретизации усложняет понимание того, какой была форма оцифрованного сигнала. Интерполяция sin(x)/x восстанавливает форму сигнала идентично до исходной, даже в случае такой значительно сниженной частоты дискретизации.

Большинство использующих осциллографы инженеров имеет дело не с идеальными синусоидальными сигналами. Рисунок 8 показывает идеальный 200-МГц прямоугольный сигнал, состоящий из 1-й, 3-й и 5-й гармоник. Сигнал оцифрован частотой дискретизации 2,5 Гвыб/c, что точно в 2,5 раза выше частоты его пятой гармоники.

Рисунок 8 ясно показывает, что интерполяция sin(x)/x идеально восстанавливает сигнал по выборкам, полученным при частоте, в 2,5 раза большей максимальной частотной составляющей.

Рис. 7. Когда частота дискретизации только в 2,5 раза выше частоты сигнала, значительно труднее представить, как аналоговый сигнал выглядел перед сэмплированием. При выполнении теоремы Найквиста интерполяция sin(x)/x может использоваться для точного восстановления сигнала точно так же, как было при большей в 10 раз частоте дискретизации

Рис. 8. 200-МГц прямоугольный сигнал, состоящий из 1-й, 3-й и 5-й гармоник, можно идеально точно воспроизвести с помощью интерполяции sin(x)/x, если при выборке выполняется критерий Найквиста

Эффект наложения

Приведенные примеры показывают возможность применения интерполяции при условии выполнения критериев Найквиста. Однако если оцифровывается сигнал, который имеет частотную составляющую выше fN, то возникнет эффект наложения. В этом случае уже невозможно восстановить исходный сигнал таким, каким он был до сэмплирования, поскольку высокочастотные составляющие исходного сигнала после сэмплирования превращаются в низкочастотные. Разумеется, это неприемлемо для обеспечения высокой точности измерений.

Чтобы избежать эффекта наложения в цифровых системах, необходимо учесть два принципиальных момента.

1. Для отсечения ВЧ-составляющих с частотами выше fN можно использовать специальный фильтр защиты от наложения спектров.

2. Частота дискретизации может быть произвольно высокой. При этом требуется, чтобы fN была выше максимальной частотной составляющей сигнала.

Можно предположить, что в некоторых случаях увеличение частоты дискретизации обойдется дешевле, чем применение антиалиасингового фильтра высокого порядка. Тогда, возможно, практичнее повысить частоту дискретизации, чтобы скомпенсировать медленный спад АЧХ антиалиасингового фильтра, вместо того чтобы разрабатывать более сложный фильтр.

Более подробные сведения об эффекте наложения и его влиянии на осциллографические измерения см. в документе Agilent Application Note 1587 по адресу www.agilent.com.

Измерения

Осциллограф с высокой частотой дискретизации не обязательно предпочтительнее в использовании. Сигнал можно точно восстановить с помощью реконструирующего фильтра sin(x)/x, если входной сигнал не содержит составляющих за пределами частот Найквиста. Кому-то может показаться привлекательной возможность отключения интерполяции, чтобы пользователь мог увидеть «реальные выборки», но в этом нет особой необходимости. Процесс интерполяции — это не угадывание поведения сигнала между выборками, а точная математическая процедура.

Вооружитесь верой в интерполяционные возможности своего прибора и приступайте к измерениям — ведь именно они и являются самыми интересными!



Вы можете скачать эту статью в формате pdf здесь.
Оцените материал:

Автор: Крис Рехорн (Chris Rehorn), техн. специалист, Agilent Technologies



Комментарии

2 / 2
1

19 апреля, 11:44

name no

Отсесть и разобраться

Материал, изложеннный в статье, можно прочитать в любом учебнике ЦОС или РТЦиС. При подписке на журнал я ожидал получить более компетентную информацию.

215 апреля, 15:28

Леонид Чанов

re: Отсесть и разобраться

Вы правы, большую часть материала статьи можно найти в учебниках. Впрочем, это касается не только данной публикации. То же самое могут сказать о некоторых статьях, например, разработчики беспроводных технологий, цифровых микросхем и т.д. Увы, но это издержки всех журналов широкого профиля. Уверен, что статья, показавшаяся Вам тривиальной, могла оказаться полезной для разработчика, допустим, силовой электроники, а для Вас может оказаться интересен материал, кажущийся банальным специалистам иного профиля.
Согласитесь, что грамотному инженеру-разработчику гораздо удобнее прочитать статью в журнале, где в сжатом виде дана необходимая информация, нежели искать ее в студенческих учебниках, где необходимые сведения изложены на десятках страниц!

2 / 2
1

Прокомментировать





 

Горячие темы

 
 




Rambler's Top100
Руководителям  |  Разработчикам  |  Производителям  |  Снабженцам
© 2007 - 2020 Издательский дом Электроника
Использование любых бесплатных материалов разрешено, при условии наличия ссылки на сайт «Время электроники».
Создание сайтаFractalla Design | Сделано на CMS DJEM ®
Контакты